Математикалық индукция әдісі көмегімен теңдіктерді дәлелдеу

Натурал сандарға байланысты неше түрлі формулалар мен теңдіктер бар. Соларды дәлелдеу үшін математикалық индукция әдісі пайдаланады. Оның мағынасы мынандай:

1. формуланың n = 1 болғанда орынды болуын тексереді.
2. Егер n - 1 болғанда формула орынды деп есептесек n болғанда орынды болуын дәлелдеу керек.

Сонда формула дәлелденді деп есептелінеді. Мысалы ретінде мына, Карл Гаусс бала болған кезде пайдаланып жатқан формуланы дәлелдейік:

1 + 2 + 3 + ... + n = n*(n + 1)/2

Біріншіден математикалық индукция әдісіне сай n = 1 болғандағы формуланың орынды болуын тексеру керек:

n = 1

1 = 1*(1 + 1)/2

1 = 1*2/2

1 = 1

Демек n = 1 болғанда формула орында. Енді n - 1 болғанда формула орынды деп есептеп оның n болғанда орынды болуын дәлелдеу керек.

n - 1 үшін орынды болса мынандай теңдік хақ болады:

1 + 2 + 3 + ... + n-1 = (n - 1)*(n - 1 + 1)/2

1 + 2 + 3 + ... + n-1 = (n - 1)*n/2

Осының екі жағына n қосамыз. Соның салдарынан теңдік бұзылмайды. Демек солай істей аламыз:

1 + 2 + 3 + ... + n-1 + n = (n - 1)*n/2 + n

1 + 2 + 3 + ... + n-1 + n = (n² - n)/2 + n

1 + 2 + 3 + ... + n-1 + n = (n² - n + 2n)/2

1 + 2 + 3 + ... + n-1 + n = (n² + n)/2

1 + 2 + 3 + ... + n-1 + n = n*(n + 1)/2

Осы формула жоғарыдағы формуламен бірдей. Демек теңдіктің орынды болуы дәлелденді. Осылай сіз өз бетімен неше түрлі теңдіктерді дәлелдей аласыз.

Математикалық индукция есептер

Сіз осыны есте сақтау үшін өз бетімен есеп шығарып көрініз. Бірнеше есеп шығарсаныз математикалық индукция тәсілі жадынызда сақталып қалады. Мына теңдіктерді дәлелдеп көрініз:

1) 1² + 2² + 3² + ... + n² = n*(n + 1)*(2n + 1)/2

2) p + (p + 1) + (p + 2) + ... + (p + n) = (2p + n)*(n + 1)/2

Математикалық индукция тәсілімен теңдіктермен қатар теңсіздіктерді де дәлелдей аласыз. Түпкі ой бірдей. n = 1 болғанда теңсіздіктің орынды болуын тексеру керек. Кейін n - 1 болса теңсіздік орынды деп санап оның n болғанда орынды болуын дәлелдеу керек.

Жаттығу ретінде мына теңсіздікті өз бетімен дәлелдеп көрініз:

1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(n + n) > 13/24

Оған қоса кейде формула n = 1 үшін анықталмай қалуы мүмкін. Ондай жағдайда n = 2, не үш не тағы сол сияқты алынады.